2025 福州大学数字逻辑笔记

教学内容与考核标准

授课教师：

内容：基本知识、逻辑运算、逻辑函数化简（列表法不要求）、逻辑门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、中规模逻辑电路

理论 40 学时 + 实验 36 学时

考核方式：雨课堂考勤 + 课程中心作业 + 期末考试

数制

常用数制：十进制 (Decimal)、二进制 (Binary)、十六进制 (Hexadecimal)、八进制 (Octal)

数字的表示法：

$$(N)_R = (K_nK_{n-1}...K_{1}K_{0}.K_{-1}K_{-2}...)_R = K_n × R^{n} + K_{n-1} × R^{n-1} + ... + K_{1} × R^{1} + K_{0} × R^{0} + K_{-1} × R^{-1} + K{-2} × R{-2} + ...$$

第二个等号后面的表示法称为 “按权展开法”。注意十六进制数的按权展开需要将字母换成对应的十进制数

数制转换

按权展开法会将数字转换成十进制的，因此其他进制转十进制非常简单。下面介绍其他进制转换。

1. 十进制转二进制

正规方法：整数除 2 取余；小数乘 2 取整。

其他方法：按位展开，逐次递减

2. 二进制转八进制

整数从右到左、小数从左到右，将数字按三位三位划分（三位二进制数最多表示到 7），不足三位的用 0 补齐。然后分别计算三位数字对应的八进制数，连接起来即可。

$$(11100101.01)_2 = (011)_2(100)_2(101)_2.(010)_2=(3)_{8}(4)_{8}(5)_{8}.(2)_{8}=(345.2)_8$$

八转二是逆过程，每一个八进制数用三位二进制数表示即可。

3. 二进制转十六进制

整数从右到左、小数从左到右，将数字按四位四位划分（四位二进制数最多表示到 F，即 15），不足四位的用 0 补齐。然后分别计算四位数字对应的十六进制数，连接起来即可。

$$(11100101.01)_2 = (1110)_2(0101)_2.(0100)_2=(\text{E})_{16}(5)_{16}.(8)_{16} = (\text{E}5.8)_{16}$$

十六转二是逆过程，每一个十六进制数用四位二进制数表示即可。

有符号数表达

对于有符号数，数字的最高位（最左端）是符号位，用 “0” 表示正数，用 “1” 表示负数。符号位之后的位才表示数值。例如 $01010 = +1010$

通常将用 “+”、“-” 表示正、负的二进制数称为符号数的真值，而把将符号和数值一起编码表示的二进制数称为机器数或机器码。

1. 原码

数值位和无符号数一样，再加上符号位，就得到了原码。整数的符号位加在数值位最高位的左端，小数的符号位在整数部分上。

如 $+1101$ 的原码是 $01101$，$-1101$ 的原码是 $11101$；$+0.1011$ 的原码是 $0.1011$，$-0.1011$ 的原码是 $1.1011$。

原码虽然表示简单，但计算较为不便。例如，$9+(-3) = 6$，但在原码表示中，$9+(-3)=(01001)_2+(10011)_2=(11100)_2=-12$，很明显是错误的！

2. 反码

相比原码，正数反码不变，而负数反码的数值位按位取反。如 $+1101$ 的反码是 $01101$，而 $-1101$ 的反码是 $10010$。

反码是解决原码带来的计算问题的一个过渡方案。这句话的意思是：它仍然有问题，比如反码仍然算不对上面的 $9+(-3)$。

3. 补码

相比原码，正数补码不变，而负数补码的数值位按位取反后还要加 1。如 $-1101$ 的补码是 $1(0010+1)=10011$。

补码解决了原码和反码的计算问题，这次就算对了 $9+(-3)$ 。计算机中的运算均采用补码形式。

码制

如果说数制表示数字，那么码制就表示信息。

BCD 码

BCD 码全称二 - 十进制 (Binary Coded Decimal) 码，通过四位二进制数对一位十进制数编码以传递信息。例如，对于十进制的 $12$，我们不是直接转换成 $1100$，而是对 $1$ 和 $2$ 分别进行 BCD 编码。

BCD 码有何好处？首先是转换方便。计算机只需要每四位二进制数按照映射表转换成一位十进制数，然后拼接即可得到完整的十进制数字，这比整体按权展开要容易得多。

其次，由于 BCD 按位编码，所以它可以精确表示十进制小数。如 $0.1$ 在一种 BCD 码下表示为 $0000.0001$，但如果乘 2 取整就会得到一个无限循环小数 $0.000110011001100...$，计算机无法精确表示一个具有无限位的数，于是会出现精度问题。

本课主要学习 8421 码和余 3 码，2421 码仅作了解

1. 8421 码

8421 码是最常用的一种有权码。8421 码到十进制的转换和普通二进制数相同（按权展开），它们表示出来的 0 ~ 9 也完全相同。注意，1010 ~ 1111 是冗余码。

8421 码按位编码，如：

$$(258)_{10}=(0010\ 0101\ 1000)_{\text {8421 码}}$$

$$(0001\ 0001\ 0100\ 0101)_{\text{8421}}=(1145)_{10}$$

8421 码之间的计算：如果某一位的和 ≤ 9，且没有产生进位，无需调整；如果某一位的和 > 9，或者产生了进位（虽然和 ≤ 9 但向高位进了一位），则必须进行加 6 调整（即加上 $0110$）。和之后的余 3 码相比，8421 码的调整规则就多了一点。

$$17 + 18 = 0001\ 0111 + 0001\ 1000 = 0010\ 1111\text {(进位 + 低四位和 > 9, 需要调整)}$$

$$\text {调整：} 0010\ 1111+ 0000\ 0110=(0011\ 0101)_{\text {8421 码}}=35$$

2. 2421 码

2421 码也是一种有权码，它的权是 2、4、2、1。0101 ~ 1010 是冗余码。

$$(258)_{10}=(0010\ 1011\ 1110)_{\text {2421 码}}$$

$$(0001\ 0001\ 0100\ 1011)_{\text {2421 码}}=(1145)_{\text {2421 码}}$$

3. 余 3 码

余 3 码是 8421 码加上 0011 形成的一种无权码，得名于其比 8421 码多 3，如 $(5)_{10} = (0101)_{\text {8421 码}}+(0011)_{2}=(1000)_{\text {余 3 码}}$。0000、0001、0010、1101、1110、1111 是冗余码。

余 3 码是一种对 9 的自补代码，可以给运算带来方便。两个余 3 码相加的运算规则是：如果有进位，结果每四位加 3；如果没有进位，结果每四位减 3。注意将结果转换回十进制时使用的是余 3 码。

余 3 码同样按位编码。

$$(256)_{10}=((0010)_{8421}+(0011)_2\ \ (0101)_{8421}+(0011)_{2}\ \ (0110)_{8421}+(0011)_{2})_{\text {余 3 码}}=(0101\ 1000\ 1001)_{\text {余 3 码}}$$

$$(1000\ 1001\ 1001\ 1011)_{\text {余 3 码}}=(5668)_{10}$$

计算：

$$13 + 67 = 0100\ 0110 + 1001\ 1010 = 1110\ 0000\text {(进位，需要调整)}$$

$$\text {调整：} 1110\ 0000 + 0011\ 0011 = (1011\ 0011)_{\text {余 3 码}} = 80$$

几种 BCD 码的映射表：

可靠性编码

用于校验 / 纠错，提高信息传输的可靠性。

格雷码

格雷码的特点：任意两个相邻的数，其格雷码仅有一位不同。可以有效避免多位跳变，提高系统可靠性。

二进制码转格雷码：

$$\text {设二进制码为}\ B = B_{n-1} B_{n-2} … B_{i + 1} B_i … B_1B_0\text {，对应格雷码为} G = G_{n-1} G_{n-2} … G_{i + 1}+G_i … G_1G_0$$

有：

$$G_{n-1} = B_{n-1}\text {（最高位相同）}$$

$$G_i = B_{i + 1} ⊕ B_i\text {（其他位为高位二进制与当前位异或）}$$

格雷码转二进制码：

逆向计算。二进制码的最高位（最左边）与格雷码的最高位相同。将产生的每一位二进制码，与下一位相邻的格雷码相加（舍去进位），作为二进制码的下一位。

奇偶校验码

奇偶校验码仅校验，不纠错（因为无法判断出错位置），只能检测奇数个 bit 错误。

• 奇校验

  如果给定一组数据位中 1 的个数是奇数，补一个 bit（0 或 1）在最右方，使得总的 1 的个数是奇数。例：0000001, 补一个 bit 为 0, 得到 00000010。

• 偶校验

  如果一组给定数据位中 1 的个数是奇数，补一个 bit（0 或 1）在最右方，使得总的 1 的个数是偶数。例：0000001, 补一个 bit 为 1, 得到 00000011。

reference: 奇偶校验位

逻辑代数基础

逻辑代数是逻辑电路的数学表达。

代数系统概述

逻辑变量以大写字母表示。逻辑变量的取值只有 “0” 和 “1” 两种可能

三大基本逻辑运算：

• 与 (AND)
  • $F = A\cdot B$
  • 对应逻辑电路中的 “或门”
• 或 (OR)
  • $F = A+B$
  • 对应逻辑电路中的 “与门”
• 非 (NOT)
  • $F = \overline{A}$
  • 对应逻辑电路中的 “非门”/“反相器”

在一个表达式中，如果既有与运算又有或运算，则按先与后或的规则进行运算。

五大公理：

1. 交换律

2. 结合律

3. 分配律

• $A+(B\cdot C) = (A+B)\cdot (A+C)$
• $A\cdot (B+C) = A\cdot B + A\cdot C$

4. 0-1 律

• $A + 0=A$，$A\cdot 0 = 0$
• $A + 1 = 1$，$A\cdot 1 = A$

5. 互补律

• $A + \overline{A} = 1$，$A\cdot \overline{A}=0$

三种基本逻辑运算可以描述各种逻辑关系，对这些关系使用数学描述，即可得到逻辑函数。

$$F=f{(A_1,A_2,...,A_n)}$$

逻辑函数的取值同样是 “0” 或 “1”。如果对应于逻辑变量 $A_1,A_2,...,A_n$ 的任意一组取值，逻辑函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的取值均相等，则 $F_1 = F_2$。

表示逻辑函数的方法，除了上面给出的逻辑表达式之外，还有真值表和卡诺图两种。

基本定理

由五大公理可推出八大定理：

1. 0-1 律

2. 重叠律（你，莫的选择）

• $A+A=A$，$A\cdot A =A$

3. 吸收律

• $A+A\cdot B=A$，$A\cdot (A+B)=A$

4. 消除律

• $A+\overline{A}\cdot B = A + B$，$A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$

5. 对合律（双重否定表肯定）

• $\overline{\overline{A}}=A$

6. 互补律

• $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$，$\overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

7. 并项律

• $A\cdot B+A\cdot \overline{B} = A$，$(A+B)\cdot (A+\overline{B})=A$

8. 包含律

• $A\cdot B+\overline{A}\cdot C+B\cdot C=A\cdot B+\overline{A}\cdot C$
• $(A+B)\cdot (\overline{A}+C)\cdot (B+C)=(A+B)\cdot (\overline{A}+C)$

重要规则

三个重要规则：

1. 代入规则

$A(B+C)=AB+AC$，令 $C=C+D$，则 $A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)$

2. 反演规则（摩根定理）

一切运算 “反过来”：“$\cdot$” 和 “$+$” 互换，“0” 和 “1” 互换，原反变量互换，保持运算顺序不变。

$F=\overline{A}+\overline{B}\cdot (C+\overline{D}E) \rightarrow \overline{F}=A\cdot [B+\overline{C}\cdot (D+\overline{E})]$

可以求反函数。

3. 对偶规则

与反演规则相比，对偶规则不需要原反变量的互换。得到的是函数的对偶式 $F'$

$F=\overline{A}+\overline{B}\cdot (C+\overline{D}E) \rightarrow F'=\overline{A}\cdot [\overline{B}+C\cdot (\overline{D}+E)]$

如果 $F=F'$，则 $F$ 为自对偶函数。

如果 $F=G$，则 $F'=G'$。

复合逻辑

1. 与非逻辑

$F=\overline{A\cdot B\cdot C \cdot ...}$

2. 或非逻辑

$F=\overline{A+B+C+...}$

3. 与或非逻辑

$F=\overline{AB+CD+...}$

4. 异或逻辑

$F=A⊕B=\overline{A}B+A\overline{B}$

5. 同或逻辑

$F=A⊙B=\overline{A}\overline{B}+AB$

同或和异或既互为相反，又互为对偶。由于同或可以由异或取反得到，因此实践中通常用异或实现同或。

逻辑函数表达式

基本形式

• 与 - 或表达式（积之和）

• 或 - 与表达式（和之积）

最小项和最大项

• 最小项

包含所有 $n$ 个变量的与项，共有 $2^n$ 种组合。每个变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次，在 $2^n$ 种变量组合中，每个最小项仅在一种组合下为 1，其余均为 0

相同变量构成的不同最小项的与和必定为 0；全部最小项的或和必定为 1。

• 最大项

包含所有 $n$ 个变量的或项，也有 $2^n$ 种组合。每个变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次，在 $2^n$ 种变量组合中，每个最大项仅在一种组合下为 0，其余均为 1

相同变量构成的不同最小项的或和必定为 1。

相同变量构成的最大项 $M_i$ 和最小项 $m_i$ 互补，即 $M_i=\overline{m_i}$。

标准形式

用 $m_i$ 或 $M_i$ 替代变量。

• 标准与 - 或（最小项）

• 标准或 - 与（最大项）

转化为标准形式

• 代数转换法

• 真值表转换法

表达式化简

目标：项数最少，每一项中的变量也最少的表达形式

1. 代数化简法

2. 卡诺图化简法

卡诺图是一种图形化的逻辑函数化简方法，通过格雷码排列的方式将逻辑相邻的最小项放在物理相邻的位置。由于当变量大于 5 时难以构造，故一般只用到 4 变量

集成门电路（了解）

电平

逻辑值 0 和 1 在数字电路中体现就是电平。电平分为高电平和低电平。一般来讲，高电平对应 “1”，低电平对应 “0”。

高低电平之间的差值越大，逻辑值 “1” 和 “0” 的在物理层面的区别越明显，电路工作越可靠。

电路不会一直稳定。为了应对电压波动，实际的高低电平判定有范围，如理想的低电平是 0V，实际可能 0.5V 也可以判定为低电平。

组合逻辑电路

输出仅取决于该时刻的输入，而与过去的输入值无关，没有反馈回路。

分析组合电路的步骤

1. 确定电路的输入和输出

• 识别电路的输入变量（通常用 A、B、C 等表示）
• 确定电路的输出变量（通常用 Y、F 等表示）

2. 从输入到输出逐级分析

• 从输入端开始，逐级向输出端分析
• 写出每个门电路的逻辑表达式
• 将各级表达式代入，得到最终的逻辑函数

3. 化简逻辑函数

• 使用布尔代数定律化简表达式
• 或使用卡诺图进行化简

4. 列出真值表

• 根据化简后的逻辑函数
• 列出所有输入组合对应的输出值

5. 描述电路功能

• 根据真值表分析电路实现的逻辑功能
• 确定电路的应用场合