数理逻辑
命题
非真即假的封闭陈述句就是命题 (proposition)。一个命题的真值 (truth value) 表示命题的真假情况，本课程定义 1 为真，0 为假。
一个无法被分解的命题称为简单命题或原子命题 (atomic proposition)，简单命题通过联结词 (logical connectives) 联结得到复合命题 (compound propositions)
一个命题需要满足以下两个条件：1）是陈述句；2）非真即假，即仅有唯一真值。
条件 1）比较好达成，但要注意数学表达式（如 ）也是一种陈述句。
条件 2）可能就有点难了。我们只看它能否理论上判断有唯一真值，不需要确定它是真是假。例如 “我喝了 114514 杯红茶”，我们现在可能无法确定到底是高手在民间还是吹牛批，但它有唯一真值！而 就不是一个命题，因为它有时真有时假。而 “这句话是假的” 同样不是一个命题，因为它同时是真和假。
和 ChatGPT 交流后发现，命题还有一个特征：陈述的主语必须无歧义。换句话说，主语不能是指代模糊的 、“He” 等。如果你需要上下文、需要自圆其说，那么他就不是一个命题。例如 “它是整数”，谁是整数？它是 1，是 “笔记本”，还是 “福州大学”？我们无法判断。这个特征需要灵活运用，因为在一些语境下，可能默认代词有指称。
直到现在我们讲的还是简单命题。对于复合语句呢？我们只需要其分解为简单陈述句，然后分别判断即可。只有所有简单陈述句都是命题，复合语句才是命题。
例如 “如果明天不下雨，我们就去公园”，这句话可以分为 “明天下雨” 和 “我们去公园”，这两个都是命题，所以一整句话也是一个命题。
我们习惯上用字母 , , , , … 来表示命题变量 (propositional variables)，即表示命题的变量。
我们有 5 个联结词：
否定 (Negation)
令 为一命题，则 的否定记作 ，指 “不是 所指的情形”， 的否定与 的真值相反。(NOT)
否定运算符的记号并没有统一的标准，只是 " " 比较常用而已
抽取简单命题时，不可抽取否定语句。例如上面的 “如果明天不下雨”，抽取的就是 “明天下雨” 而不是 “明天不下雨”。
命题的否定也可以看作否定运算符 (negation operator) 作用在命题上的结果。
合取 (Conjunction)
令 , 为命题，, 的合取即命题 “ 并且 ”，记作 “”，当 , 皆为真命题时， 为真，否则为假。(AND)
析取 (Disjunction)
令 , 为命题，, 的析取即命题 “ 或 ”，记作 “”，当 , 皆为假命题时， 为假, 否则为真（Inclusive or，兼或，也叫同或）(OR)
异或 (Exclusive or)
令 , 为命题，, 的异或（记作 ）是这样的一个命题：当, 中恰好有一个为真时命题为真，否则为假。
换句话说，命题 , 的真值相同则为假 (0) ，真值不同则为真 (1)。
| p | q | |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
联想到异或运算，其实是同一个概念，二进制位相同则为 0，二进制位不同则为 1。
蕴含 (Implication)
有的地方称之为条件语句 (Conditional Statement)。
令 , 为命题，蕴含 是命题 “如果 ，则 ”，当 为真而 为假时，条件语句 为假，否则为真。在蕴含中， 称为假设（hypothesis，或前件 antecedent，前提 premise）， 称为结论（conclusion，或后件 consequence）。
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
为什么 为假时， 不论真假，命题一定为真？
如果 为假，不必多说，确实符合这个命题。
如果 为真，命题没有规定 为假的情况，并且仍然在一定程度上符合命题。
因此，如果 为假，我们不需要使用蕴涵 。既然我们不会使用它，我们可以将其真值定义为任何我们喜欢的东西，但也要符合其他的联结词。
蕴含式中 和 的顺序很重要。如果交换 和 ，会产生一个不同的命题。
